L'histoire des carrés IV

On va encore parler de quelques formules algébriques avant d'attaquer aux autres sujets autour des carrés.

1/ La différence des carrés: $a^2 - b^2 = (a + b)\times(a - b)$. La démonstration est très simple:
\begin{align*}
(a + b)\times(a - b) &= a\times(a - b) + b\times(a-b) \\
&= a\times a - a\times b + b\times a - b\times b \\
&= a^2 -ab + ba - b^2 \\
&= a^2 - b^2
\end{align*}
2/ La somme des carrés:
$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
La démonstration peut se faire par une récurrence sur $n$. La formule est triviale lorsque $n = 1$. Supposons que la formule est vraie pour $n$, on va l'examiner pour $n + 1$:
\begin{align*}
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + (n + 1)^2 &= 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + (n + 1)^2 \\
&= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2 \\
&= (n + 1)\times(\frac{n(2n + 1)}{6} + (n + 1)) \\
&= \frac{n+1}{6}\times(n(2n + 1) + 6(n + 1)) \\
&= \frac{n+1}{6}\times(2n^2 + n + 6n + 6) \\
&= \frac{n+1}{6}\times(2n^2 + 7n + 6) \\
&= \frac{n+1}{6}\times((n + 2)(2n + 3)) \\
&= \frac{(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)}{6}
\end{align*}
Alors la formule est bien vérifiée pour $n + 1$. Donc par récurrence (sur $n$), on a bien prouvé que cette formule est vraie pour tout $n$.